求证：log2(2^a+2^b)>=(a+b)/2+1

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/16 06:24:12
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先求log2(2^a+2^b)-(a+b)/2
=log2(2^a+2^b)-log2[2^(a+b)/2]
=log2[(2^a+2^b)/2^(a+b)/2]
用均值不等试可得
(2^a+2^b)/2^(a+b)/2>=2
所以有log2(2^a+2^b)-log2[2^(a+b)/2]>=1
移行即命题得证。

2^a+2^b=2^[(a+b)/2+1]=2*2^(a/2)*2^(b/2)
把2^(a/2)\2^(b/2)分别当作x,y
则2^a+2^b=x^+y^,2*2^(a/2)*2^(b/2)=2xy
x^+y^>=2xy

由于y=2^x对于x是单调递增的
因此不等式成立即证2^(log2(2^a+2^b))>=2((a+b)/2+1) 即证2^a+2^b>=2*2^(a/2)*2^(b/2);
即证2^a+2^b-2*2^(a/2)*2^(b/2)>=0;
即证(2^(a/2)-2^(b/2))^2>=0,左式显然成立
因此不等式得证。